数据的位表示 #

本文由22秋刘助教提供

整数：补码 (2's complement) #

编码 #

编码是给定位数的二进制串到数字的映射，可以看成一个函数

例如， 位的原码是一种编码：

2 位的补码也是一种编码：

编码 的值域是该编码能表示的数的集合。例如， 位原码的值域是

负数 #

原码只能表示正数。那么，一个兼容负数的编码 该如何设计呢？

从计算机硬件的角度考量，无符号数（原码）的加法器和乘法器是必须的（我们的 LC-3 虽然没有乘法指令，但你也可以自己补充）

我们希望 编码下，数字的加法，乘法也能兼容无符号数的加法，乘法

• 减法即加上相反数，因此 编码只需要考虑加法，不需要额外考虑减法

给出 应该满足的性质：

1. 该编码下数字的加法应该等于编码之和（复用无符号数的加法器）

2. 该编码下数字的乘法也应该等于编码的乘法（复用无符号数的乘法器）

3. 该编码应该能表示尽可能多的数字，我们假设 是一一映射（即存在反函数 ）

4. 该编码值域应该是连续的 ，其中 ，结合性质三可知

解法一： #

性质二代入 ，得

等式左侧 是一个变量，等式右侧 是一个常数，得

性质二代入 ，得

同理，得

再解 :

在性质一中令 ，并取

同时取反函数

已知 ，自然有

同理

归纳，便得到所有负数 对应的补码

而

归纳，便得到所有正数 的补码

到这里，任意给定一个 位二进制串，我们已经能够确定它实际表示的数字了

对于一个二进制串 ：

• 若
• 若

所表示的数是正数还是负数由给定的值域确定：二者只有一个是在给定的值域内的（因为值域的长度恰好是二者之差 ）

事实上， 只要满足 ，它们具体的值是可以任意选取的：

注意到一个二进制串作为正数和作为负数的取值恰好相差 ，而性质一和二都是模 而言的，可以验证对于不同的 ，这两条性质都成立

这也就导致符合要求的编码方式 不唯一

方便起见，一般约定 开头的二进制串用来表示负数，即编码值域 ，这也就是通常意义上的补码

解法二： #

如果考虑溢出，无符号数的加法（乘法）器的一个更合适的称呼是模 的同余等价类的加法（乘法）器

例如，在 4 位原码下， ，对于无符号数而言，这会被认为是溢出

但如果按照模 的同余等价类的观点来看，

最后的等号是顺理成章的，因为 和 不过是同一个等价类的两个代表元

在这个意义上，性质一和性质二的同余符号就不再需要了

从代数结构的角度，这说明二进制串的结构是一个环，且与模 的同余等价类同态

不太严谨地，我们直接得出结论

具体 的取值由值域给定

负数的补码表示： #

在明白了补码的结构之后，可以轻松证明 的补码表示就是 的补码表示取反再加一

首先有

两边取反函数

移项

浮点数：IEEE 754 #

以 32 位单精度浮点数为例

float32 内存表示 #

浮点数类似于科学计数法，分别储存一个数的有效数字和指数

sign 符号位 #

用于标识正负，0 代表正，1 代表负

exponent 指数位 #

8 位无符号整数，范围 ，实际表示的指数需要减去偏移量

及 是特殊取值，具体含义后文介绍

fraction 尾数位 #

二进制数的第一位有效数字必定是 ，在这之后的 23 位有效数字保存在尾数位 中

故实际有效数字为：

float32 含义及转换 #

一般来说 ()，一个 float32 表示的值为：

求出 三部分的过程就是一个数转换为浮点数的过程

• 先将一个数转换为二进制
• 再正则化处理（分解成有效数字和指数）
• 最后按 IEEE 规约，填入符号位，指数位，尾数位

非正规形式 #

即 时，此时是浮点数的非正规形式，用来表示极接近 的数字，可以认为此时有效数字只有尾数的 位，不再假定有第一个有效数字

尾数位代表的有效数字是

约定此时指数位的值与 时相同，为 （这么约定是为了让浮点数的一般形式和非正规形式的值域连续）

实际表示的值

最小的非 正浮点数是

有趣的是，浮点数的 其实有两个，在指数位和尾数位全为 时，根据符号位不同，有 和

计算 ，结果正无穷（这是 IEEE 754 标准指定的，但不同编程语言考虑体系结构等因素会有不同的实现，故这个运算仅做了解，此处仅展示两个 符号位不同导致的区别）

计算 ，结果负无穷

虽然这两个零符号不同，但根据标准，它们在比较时应该是相等的（因此在写代码时，可以不太考虑这两个 的区别）

特殊值 #

当 时：

• 若小数部分为 0，表示（正/负）无穷（正如上面试一试中你能够得到的结果）
• 若小数部分不为 0，表示 NaN (Not a Number)

NaN 仅在含义上表示（这个运算结果）不是一个数，但在类型上，NaN 毫无疑问是一个（特殊的）（浮点）数

结果应该为 number